P評【說教】精進教學,才是根本(下)

文 / 史英

這是一題國中數學幾何證明題。

不是很難的,但一位老師說他想要有一種教法,要教學生「自己想出怎麼證」,這下就難了。

一般而言,如果學生問「我想不出來怎麼辦?」

我們通常回答:「多做題目,多思考」。

現在,則是要發展出一個教案,把「如何想出」當做主要目標,直接透過「教學」讓學生「學會怎麼學會」,而不是只學會「老師的解法」。

於是,我們幾個數學老師,為此特別聚會,看看能做出什麼。

【說教】精進教學,才是根本 圖一

1.討論過程
其實我們討論的過程,和前例差不多;無非就是先假裝自己不會解,再從頭想起,因為除此之外好像也沒別的辦法。但這比國文更困難,因為數學的解沒有那麼多變化,會解就是會解,根本不可能假裝。這一次,倒是我發揮了一點作用,因為幾個老師之中,只有我很久沒有碰過國中數學了,所以,一開始我是真的不會做,用不著假裝,只要把我錯誤的想法都說出來,不要暗中把它否決掉,就可以讓大家討論了。

要點是,大家必須順著我那條錯誤的思路走,然後從那條路的本身(而不是對比正確解法) 發現它是錯的。為什麼這樣呢?理由很簡單,我們是要假設學生自己在想,沒有一個知道正確解法的老師從旁指導。

這兒的哲學也很明白,所謂思考,或「自己想出來」,就是:第一,能發現自己的錯誤;同時,第二,能從這錯誤中走出來。後者看起來比前者更困難,不過,如果能夠不要一直以為「有鴻鵠(就是老師或正解啦) 之將至」,而堅持在這條已發現為誤的路上,再左觀右盼,思前想後,或者就可以找到另一條路(詳見下文)。雖然不保證另一條路一定能通向目標,但它至少是一條「出路」,讓我們不至於困死在一個地方動彈不得。

這些說起來很抽象,而我也不想再拿討論的細節來煩大家,所以,就請先看最後形成的教案,我再在其中做必要的說明。


2.教案形成
當然,老師們還是盡量地幫學生設想了可能的錯誤,同時,也改變了表達的方式,使得溝通的過程可以更友善;以下,就是形成的教案:

(1)揚棄傳統的ABC…等符號,重新表述題目:在這個圖形中,我們要證明,只要P點在三角形內部,圖中的藍色距離就會大於綠色距離〔圖三〕;所以這題我們就簡稱:證明「大於「,讀者應該也可以發現,用這個方式來表達,遠比什麼AB+AC>PB+PC要親民得多,最主要的是,再也不必在圖中去找哪一點是A,哪到哪是AB,等等,可以節省很多眼力與腦力。別小看這個小小的改變,對於很多不擅長符號運作的學生,有很大的幫助。

【說教】精進教學,才是根本 圖三

(2)老師說:到底有什麼好證明的呢?你看,藍線在綠線的外面,走外圍當然會走得比較遠,這不是理所當然的嗎?請學生提出反對意見︱這是從一開始就做出示範:錯誤不可恥,甚至是值得珍惜的,同時,透過提供駁倒老師的機會,看看能否引起參與討論的興趣。

(3)最好是由學生提出,如果沒有學生提出,經過一段嘗試之後,老師也可以自己提出反駁:〔圖四〕;同時提示:所以,這個題目是有條件的,就是無論走藍線或走綠線,走的都必須是三角形的兩邊。

【說教】精進教學,才是根本 圖四

(4)老師說:有一個人畫了這條輔助線〔圖五〕,而且,他想,或許:藍左>綠左藍右>綠右,這樣加起來,不就證明完畢了嗎?請學生提出反對意見—在這個過程裡,老師鼓勵學生用圖形提出以上猜想的反例,不要只是口述。

【說教】精進教學,才是根本 圖五

(5)根據學生提議,老師畫出圖六,說:我們可以讓藍左短一點,綠左長一點,這就反駁了剛才的猜想,換言之,剛才那個藍左>綠左的想法根本是錯的。(其實這就是我對此教案的一點貢獻,因為我一開始就是這樣想錯的)

【說教】精進教學,才是根本 圖六

(6)老師說:那麼,如果藍左勝不過綠左,也就是左邊的不比長,那麼,題目說的藍左>綠左,還會成立嗎?讓小孩發表。這時候可能有人已經想出證明,或在校外補習學過,老師應該請他們稍後再發言,先給大家一段思考討論的時間。同時,老師可以宣講:思考的過程,比正確答案更重要;因為如果你知道正解,你就只是知道這題的正解而已,如果你願意欣賞並參與那些還不知道正解的人的思考,你就學會了可以應用在任何一題的思考方法。總之,老師必須在這個時候,對流行的功利主義宣戰,設法把學生導引回來。

(7)我們現在遇到的問題是:如果藍左很短,而綠左很長;既然卡在這裡,老師說:與其退回去,我想,不如一不做二不休,乾脆就讓綠左儘量長,長到接觸外框〔圖七〕,再看看會發生什麼事?這個問題要給多一點時間,如果有同學說出正確答案(上方的三角形中兩邊和大於第三邊),就請他和沒有能看出來的同學對話;在這個過程裡,老師要練習「主持節目」或「主持會議」的能力,盡量促成討論順利進行,同時儘可能照顧到各方的意見,關於如何磨練這種教學的基本工夫,我們可能要另找時間再仔細討論。

【說教】精進教學,才是根本 圖七

(8)老師總結前項討論,在圖中再標出一段長度藍右上〔圖八〕,並寫下結論:綠左長到極端的情況,因為我們看到兩邊和大於第三邊,藍左+藍右上>綠左,再把藍綠重疊的部份加上去,就證出>

【說教】精進教學,才是根本 圖八

(9)再詢問一遍,確定全班每個人都明白這一部份。

(10)老師說:好,在圖八那種極端的情況,我們已經證明>了;那麼,如果把P點縮回來一點,還是大於嗎?強調「從剛才已得到的結果再往下想」,不要又「另起爐灶」從頭想起。鼓勵小孩發表,同時在小孩發表的過程裡,老師幫小孩把他所指涉的長度標在〔圖九〕上。

【說教】精進教學,才是根本 圖九

(11)老師說:看起來,我們就是要算一筆帳了;跟圖八比起來,當P點縮回的時候,少掉了a,所以原先(即圖八)已經確知的>只會更對,這一點OK嗎?不過,先別高興得太早,因為,原來和藍右下重疊在一起的那一段,現在變成了新的綠右,就多出了(綠右藍右下)那麼多的長度。所以,藍綠大賽的鹿死誰手,還在未定之天;那怎麼辦呢?

(12)老師說:只要看少掉的和多出的,哪個比較大就可以了;然後問:為了讓>的結論能夠成立,我們心裡會希望是哪個比較大?這是一個關鍵的問題,可以測試學生是否還在軌道上,如果發現有掉隊的,這時候就可以把他拉回;拉回的方法,可以是老師再講解,也可以就把他交給某個已經懂了的同學,讓他們彼此研究。

(13)老師總結:因為P點在極端的情況下,我們知道>;當P點縮回後,老師在黑板上寫:「綠營雖然少了a,但多了(綠右-藍右下)」,在圖上看,我們恰好可以看到「兩邊差小於第三邊」,所以,a>(綠右藍右下),也就是,綠營還是少掉的多,多出的少,所以算完總帳之後,還是>

(14)最後,老師讓學生在圖九中標上A,B,C…等英文字母,把剛才的思考,簡要地用一般的不等式寫下來;這時候,要鼓勵學生用自己的語言寫,不要拘泥於一般常見的書寫格式,因為只有當學生勇於表達,即使最初不夠簡潔,這份信心終於可以讓他真的學會,包括終於學會制式的表達方式!

以上教案中老師所用的語言,和表達方式,都是經過仔細討論過的;在討論中,我們不斷地發現,同一件事情的不同的說法,真的會有很大的差別。所以,不只教學流程和認知哲學,甚至教案中的每一句話都是重點。


3.評論
以上這個教案,是我和幾位國中老師最新的研發,還沒有正式在一個班級測試過,不確定效果究竟如何(小規模的測試還不錯,但那也許做不得準)。

但我認為,這是從傳統的「教解題」,向「教想出如何解題」跨出的一大步,是很值得努力的方向。其中最有意義的部份,也許是從一個錯誤的猜想出發,不是退回原地,反而是把情境推向最極端(即從圖六走向圖七),並從這個更極端的情況中,再去檢視原來的命題之所以還必須成立的理由。細心的讀者當然已經發現,傳統教學中那個天外飛來的輔助線,在這個過程裡會自然浮現。這是典型的「做數學」(研究工作)的方法,老師們的討論可以達到這個層次,很讓人高興。

可以想像,有些學生可能會對這種教法不太習慣,因為先想錯,又想對,翻來覆去,很快就覺得頭昏而不耐煩了;但這應該是因為長久以來已經養成追求速成的習慣,又不斷再被補習班或學校老師所強化。在這個情況下,我感覺起來,如果把以上教案中針對全班教學的部份取消,而改成製作教學片的腳本,或者會有不錯的效果。因為,學生如果能自己操控老師講課的速度,又相信這可以教會他自己想出來,或者心情上會大有不同。

也正是因為這個原因,我很支持翻轉所提倡的製作教學片的主張;只不過,如果教學片的內容沒有一個經過充份討論的腳本,也不講求圖示和語言表達,和傳統講課無異,我就會覺得很可惜。


結語

其實我還準備了幾個自然科學的教案,一方面很難取捨要挑哪一個來呈現,一方面,此文的字數已經太多,我想,就留到以後再說了。

總之,我是希望大家在各自嘗試各種可能的同時,也能分一部份心力,往深化教學內涵這個方向來努力。所謂深化教學內涵,大概可以有三個指標:一是教學本身要盡可能引起學習動機,以減低對外在制約的依賴;二是教學要盡可能讓學生當下學會,包括對重要內容的記憶等等,以減輕預習或反覆練習的負擔(記得小時候聽同學說某某地理老師的課,只要上課真的有在聽,回家根本不必再唸,真是羨慕死了);三是,教學應該盡可能教學生自己「想出來」的方法,而不是只把現成的結果塞給他。

這些當然並不容易,而且很可能是我們每個人終生追求,都還未必能完全達到的目標;但我想,如果一個老師要教得有生命力,又不想淪為複誦機或教書匠,這些也許可以做為「雖不能至,然心嚮往之」的自我期許。

說起前述的第一個指標,我記得葉丙成老師曾表示(希望沒記錯),現在教育的問題是,老師用考試逼學生,把學生的自主性都逼沒了;但我怎麼覺得,事情或者剛剛相反:是因為看到學生不肯主動學習,老師才不得不使出考試的殺手鐗,我就不相信哪個老師是故意以考學生為樂的。其實,翻轉教室用組內和同儕壓力來「督促」學生預習,或參與小組討論和發表,以我粗淺看起來,好像情況也是類似。

但我並不反對用任何方式「逼」學生,而且我相信,有時候適當地逼一下,對學生也真的有幫助;只不過,我反對只用逼的方法,而不重視自己在教學上的改進。反過來說,如果教學可以更引發學生的興趣,我們或者就可以相當程度減低「逼」學生的必要性,無論是用什麼逼法。

至於第二個指標呢?讓我想起一位高中老師曾說過,翻轉的「課前預習,課上討論」,其實等於加倍了學生投注在該科目的時數;不過,這我也並不反對,只是希望,我們同時也能透過教學內涵的改進,增加學習的成效。至於第三個指標,更不用說了,當然是希望無論是製作教學片,或帶領課堂討論,我們都能往這個方向來試試看。

我當然知道,走「深化教學內涵」的路子,比起只做某些形式上的改變,要花去老師更多的時間與精力;然而,要怎麼收穫就先怎麼栽。也許,一個學期之內,我們認真研發兩三個教案就好;表面上成就不多,但一年一年累積下來,這些成品的擴散效果,以及每一次認真投入所帶給我們的深層改變,都是不可限量的。

陪伴年輕孩子成長,是上天賜給我們最大的恩寵;捧著這份恩寵,發揮我們的才能與智慧,是我們無可推託的抉擇!


延伸閱讀:

葉丙成老師於臉書回應史英先生的「翻轉翻轉」:Part 1Part 2Part 3

【說教】精進教學,才是根本(上)

【說教】精進教學,才是根本(中)

  • 本文作者為人本教育文教基金會董事長。
  • 本專欄內容為作者個人言論,不代表公共電視立場。


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