【說教】精進教學，才是根本（下）

這是一題國中數學幾何證明題。

不是很難的，但一位老師說他想要有一種教法，要教學生「自己想出怎麼證」，這下就難了。

一般而言，如果學生問「我想不出來怎麼辦？」

我們通常回答：「多做題目，多思考」。

現在，則是要發展出一個教案，把「如何想出」當做主要目標，直接透過「教學」讓學生「學會怎麼學會」，而不是只學會「老師的解法」。

於是，我們幾個數學老師，為此特別聚會，看看能做出什麼。

1.討論過程

其實我們討論的過程，和前例差不多；無非就是先假裝自己不會解，再從頭想起，因為除此之外好像也沒別的辦法。但這比國文更困難，因為數學的解沒有那麼多變化，會解就是會解，根本不可能假裝。這一次，倒是我發揮了一點作用，因為幾個老師之中，只有我很久沒有碰過國中數學了，所以，一開始我是真的不會做，用不著假裝，只要把我錯誤的想法都說出來，不要暗中把它否決掉，就可以讓大家討論了。

要點是，大家必須順著我那條錯誤的思路走，然後從那條路的本身（而不是對比正確解法） 發現它是錯的。為什麼這樣呢？理由很簡單，我們是要假設學生自己在想，沒有一個知道正確解法的老師從旁指導。

這兒的哲學也很明白，所謂思考，或「自己想出來」，就是：第一，能發現自己的錯誤；同時，第二，能從這錯誤中走出來。後者看起來比前者更困難，不過，如果能夠不要一直以為「有鴻鵠（就是老師或正解啦） 之將至」，而堅持在這條已發現為誤的路上，再左觀右盼，思前想後，或者就可以找到另一條路（詳見下文）。雖然不保證另一條路一定能通向目標，但它至少是一條「出路」，讓我們不至於困死在一個地方動彈不得。

這些說起來很抽象，而我也不想再拿討論的細節來煩大家，所以，就請先看最後形成的教案，我再在其中做必要的說明。

2.教案形成

當然，老師們還是盡量地幫學生設想了可能的錯誤，同時，也改變了表達的方式，使得溝通的過程可以更友善；以下，就是形成的教案：

（1）揚棄傳統的ABC...等符號，重新表述題目：在這個圖形中，我們要證明，只要P點在三角形內部，圖中的藍色距離就會大於綠色距離〔圖三〕；所以這題我們就簡稱：證明「藍」大於「綠」，讀者應該也可以發現，用這個方式來表達，遠比什麼AB+AC>PB+PC要親民得多，最主要的是，再也不必在圖中去找哪一點是A，哪到哪是AB，等等，可以節省很多眼力與腦力。別小看這個小小的改變，對於很多不擅長符號運作的學生，有很大的幫助。

（2）老師說：到底有什麼好證明的呢？你看，藍線在綠線的外面，走外圍當然會走得比較遠，這不是理所當然的嗎？請學生提出反對意見︱這是從一開始就做出示範：錯誤不可恥，甚至是值得珍惜的，同時，透過提供駁倒老師的機會，看看能否引起參與討論的興趣。

（3）最好是由學生提出，如果沒有學生提出，經過一段嘗試之後，老師也可以自己提出反駁：〔圖四〕；同時提示：所以，這個題目是有條件的，就是無論走藍線或走綠線，走的都必須是三角形的兩邊。

（4）老師說：有一個人畫了這條輔助線〔圖五〕，而且，他想，或許：藍左>綠左，藍右>綠右，這樣加起來，不就證明完畢了嗎？請學生提出反對意見—在這個過程裡，老師鼓勵學生用圖形提出以上猜想的反例，不要只是口述。

（5）根據學生提議，老師畫出圖六，說：我們可以讓藍左短一點，綠左長一點，這就反駁了剛才的猜想，換言之，剛才那個藍左>綠左的想法根本是錯的。（其實這就是我對此教案的一點貢獻，因為我一開始就是這樣想錯的）

（6）老師說：那麼，如果藍左勝不過綠左，也就是左邊的藍不比綠長，那麼，題目說的藍左>綠左，還會成立嗎？讓小孩發表。這時候可能有人已經想出證明，或在校外補習學過，老師應該請他們稍後再發言，先給大家一段思考討論的時間。同時，老師可以宣講：思考的過程，比正確答案更重要；因為如果你知道正解，你就只是知道這題的正解而已，如果你願意欣賞並參與那些還不知道正解的人的思考，你就學會了可以應用在任何一題的思考方法。總之，老師必須在這個時候，對流行的功利主義宣戰，設法把學生導引回來。

（7）我們現在遇到的問題是：如果藍左很短，而綠左很長；既然卡在這裡，老師說：與其退回去，我想，不如一不做二不休，乾脆就讓綠左儘量長，長到接觸外框〔圖七〕，再看看會發生什麼事？這個問題要給多一點時間，如果有同學說出正確答案（上方的三角形中兩邊和大於第三邊），就請他和沒有能看出來的同學對話；在這個過程裡，老師要練習「主持節目」或「主持會議」的能力，盡量促成討論順利進行，同時儘可能照顧到各方的意見，關於如何磨練這種教學的基本工夫，我們可能要另找時間再仔細討論。

（8）老師總結前項討論，在圖中再標出一段長度藍右上〔圖八〕，並寫下結論：綠左長到極端的情況，因為我們看到兩邊和大於第三邊，藍左+藍右上>綠左，再把藍綠重疊的部份加上去，就證出藍>綠！

（9）再詢問一遍，確定全班每個人都明白這一部份。

（10）老師說：好，在圖八那種極端的情況，我們已經證明藍>綠了；那麼，如果把P點縮回來一點，藍還是大於綠嗎？強調「從剛才已得到的結果再往下想」，不要又「另起爐灶」從頭想起。鼓勵小孩發表，同時在小孩發表的過程裡，老師幫小孩把他所指涉的長度標在〔圖九〕上。

（11）老師說：看起來，我們就是要算一筆帳了；跟圖八比起來，當P點縮回的時候，綠少掉了a，所以原先（即圖八）已經確知的藍>綠只會更對，這一點OK嗎？不過，先別高興得太早，因為，原來和藍右下重疊在一起的那一段，現在變成了新的綠右，就多出了（綠右－藍右下）那麼多的長度。所以，藍綠大賽的鹿死誰手，還在未定之天；那怎麼辦呢？

（12）老師說：只要看少掉的和多出的，哪個比較大就可以了；然後問：為了讓藍>綠的結論能夠成立，我們心裡會希望是哪個比較大？這是一個關鍵的問題，可以測試學生是否還在軌道上，如果發現有掉隊的，這時候就可以把他拉回；拉回的方法，可以是老師再講解，也可以就把他交給某個已經懂了的同學，讓他們彼此研究。

（13）老師總結：因為P點在極端的情況下，我們知道藍>綠；當P點縮回後，老師在黑板上寫：「綠營雖然少了a，但多了（綠右－藍右下）」，在圖上看，我們恰好可以看到「兩邊差小於第三邊」，所以，a>（綠右－藍右下），也就是，綠營還是少掉的多，多出的少，所以算完總帳之後，還是藍>綠！

（14）最後，老師讓學生在圖九中標上A,B,C...等英文字母，把剛才的思考，簡要地用一般的不等式寫下來；這時候，要鼓勵學生用自己的語言寫，不要拘泥於一般常見的書寫格式，因為只有當學生勇於表達，即使最初不夠簡潔，這份信心終於可以讓他真的學會，包括終於學會制式的表達方式！

以上教案中老師所用的語言，和表達方式，都是經過仔細討論過的；在討論中，我們不斷地發現，同一件事情的不同的說法，真的會有很大的差別。所以，不只教學流程和認知哲學，甚至教案中的每一句話都是重點。

3.評論

以上這個教案，是我和幾位國中老師最新的研發，還沒有正式在一個班級測試過，不確定效果究竟如何（小規模的測試還不錯，但那也許做不得準）。

但我認為，這是從傳統的「教解題」，向「教想出如何解題」跨出的一大步，是很值得努力的方向。其中最有意義的部份，也許是從一個錯誤的猜想出發，不是退回原地，反而是把情境推向最極端（即從圖六走向圖七），並從這個更極端的情況中，再去檢視原來的命題之所以還必須成立的理由。細心的讀者當然已經發現，傳統教學中那個天外飛來的輔助線，在這個過程裡會自然浮現。這是典型的「做數學」（研究工作）的方法，老師們的討論可以達到這個層次，很讓人高興。

可以想像，有些學生可能會對這種教法不太習慣，因為先想錯，又想對，翻來覆去，很快就覺得頭昏而不耐煩了；但這應該是因為長久以來已經養成追求速成的習慣，又不斷再被補習班或學校老師所強化。在這個情況下，我感覺起來，如果把以上教案中針對全班教學的部份取消，而改成製作教學片的腳本，或者會有不錯的效果。因為，學生如果能自己操控老師講課的速度，又相信這可以教會他自己想出來，或者心情上會大有不同。

也正是因為這個原因，我很支持翻轉所提倡的製作教學片的主張；只不過，如果教學片的內容沒有一個經過充份討論的腳本，也不講求圖示和語言表達，和傳統講課無異，我就會覺得很可惜。

結語

其實我還準備了幾個自然科學的教案，一方面很難取捨要挑哪一個來呈現，一方面，此文的字數已經太多，我想，就留到以後再說了。

總之，我是希望大家在各自嘗試各種可能的同時，也能分一部份心力，往深化教學內涵這個方向來努力。所謂深化教學內涵，大概可以有三個指標：一是教學本身要盡可能引起學習動機，以減低對外在制約的依賴；二是教學要盡可能讓學生當下學會，包括對重要內容的記憶等等，以減輕預習或反覆練習的負擔（記得小時候聽同學說某某地理老師的課，只要上課真的有在聽，回家根本不必再唸，真是羨慕死了）；三是，教學應該盡可能教學生自己「想出來」的方法，而不是只把現成的結果塞給他。

這些當然並不容易，而且很可能是我們每個人終生追求，都還未必能完全達到的目標；但我想，如果一個老師要教得有生命力，又不想淪為複誦機或教書匠，這些也許可以做為「雖不能至，然心嚮往之」的自我期許。

說起前述的第一個指標，我記得葉丙成老師曾表示（希望沒記錯），現在教育的問題是，老師用考試逼學生，把學生的自主性都逼沒了；但我怎麼覺得，事情或者剛剛相反：是因為看到學生不肯主動學習，老師才不得不使出考試的殺手鐗，我就不相信哪個老師是故意以考學生為樂的。其實，翻轉教室用組內和同儕壓力來「督促」學生預習，或參與小組討論和發表，以我粗淺看起來，好像情況也是類似。

但我並不反對用任何方式「逼」學生，而且我相信，有時候適當地逼一下，對學生也真的有幫助；只不過，我反對只用逼的方法，而不重視自己在教學上的改進。反過來說，如果教學可以更引發學生的興趣，我們或者就可以相當程度減低「逼」學生的必要性，無論是用什麼逼法。

至於第二個指標呢？讓我想起一位高中老師曾說過，翻轉的「課前預習，課上討論」，其實等於加倍了學生投注在該科目的時數；不過，這我也並不反對，只是希望，我們同時也能透過教學內涵的改進，增加學習的成效。至於第三個指標，更不用說了，當然是希望無論是製作教學片，或帶領課堂討論，我們都能往這個方向來試試看。

我當然知道，走「深化教學內涵」的路子，比起只做某些形式上的改變，要花去老師更多的時間與精力；然而，要怎麼收穫就先怎麼栽。也許，一個學期之內，我們認真研發兩三個教案就好；表面上成就不多，但一年一年累積下來，這些成品的擴散效果，以及每一次認真投入所帶給我們的深層改變，都是不可限量的。

陪伴年輕孩子成長，是上天賜給我們最大的恩寵；捧著這份恩寵，發揮我們的才能與智慧，是我們無可推託的抉擇！